Program Linear: Menentukan Nilai Optimum

Download

Program Linear : Latihan 1

Download

Program Linear 3 : Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear dari Daerah Himpunan Penyelesaian

Download

Program Linear 2 : Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua variabel

Download

Program Linear: Pertidaksamaan Linear dua Variabel dan Model Matematika

Download

    Soal - 1

    Hasil dan sisa pembagian suku banyak \(f(x)=x^4-3x^3-2x^2+7\) oleh $g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ berturut-turut adalah ....

    Penyelesaian:

     Pembagi $g(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$  berarti $x = 1$.

    Dengan menggunakan metode Horner kita peroleh:

    Karena koefisien pembaginya adalah $\frac{1}{2}$ sehingga hasil baginya harus dibagi dengan $\frac{1}{2}$   atau di kali $2$,dengan demikian 

     hasil baginya adalah $$2x^2-4x-8$$

     sisa pembagian adalah $$3$$    

    Soal - 2

    Suku banyak $f(x)$ bersisa $6$ jika dibagi oleh $(x – 2)$ dan bersisa $–3$ jika dibagi oleh $(x + 1)$. Sisa pembagian suku banyak $f(x)$ jika dibagi oleh $x^2-x-2$ adalah ....

    Penyelesaian:

    $f(x)$ bersisa $6$ jika dibagi oleh $(x – 2)$ berarti $f(2) = 6$

   $f(x)$ bersisa $-3$  jika dibagi oleh $(x + 1)$ berarti $f(-1)=-3$ 

    Sementara pembagi $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$

    

\[\begin{align*} f(2)&=6\rightarrow 2a+b&=6 .......... (1)\\ f(-1)&=-3\rightarrow -a+b&=-3 .......... (2) \end{align*}\]

dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2) maka diperoleh

\[\frac { \!\begin{aligned} 2a+b &=6\\ -a+b&=-3 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 3a&=9 \\ a&=3 \\ b&=0 \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-2$  adalah $3x$

    Soal - 3

    Suku banyak $f(x)$ dibagi oleh $x^2-x$ bersisa $x+1$, jika $f(x)$ dibagi oleh $(x^2 + 2x)$ bersisa $x+5$. Sisa pembagian suku banyak $f(x)$ oleh $x^2+x-2$ adalah ....

    Penyelesaian:

    Pembagi $x^2-x$ bila di faktorkan akan menghasilkan $x^2-x=x(x-1)$   

    $f(x)$ bersisa $x+1$ jika dibagi oleh $x^2-x$ berarti $f(0) = 1$ dan $f(1) = 2$

   Pembagi $x^2+2x$ bila di faktorkan akan menghasilkan $x^2+2x=x(x+2)$   

    $f(x)$ bersisa $x+5$ jika dibagi oleh $x^2+2x$ berarti $f(0) = 5$ dan $f(-2) = 3$

    Sementara pembagi $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$

    

\[\begin{align*} f(1)&=2\rightarrow a+b&=2 .......... (1)\\ f(-2)&=3\rightarrow -2a+b&=3 .......... (2) \end{align*}\]

dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2) maka diperoleh

\[\frac { \!\begin{aligned} a+b &=2\\ -2a+b&=3 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 3a&=-1 \\ a&=-\frac{1}{3} \\ b&=\frac{7}{3} \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-2$  adalah \[-\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\]

Bentuk $(a+b)^n$

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \large \begin{align*} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ &=a^2+b^2+2ab\\ (a+b)^2&-2ab=a^2+b^2 \end{align*}\]

Terbukti bahwa  \[\large \large \begin{align*}\color{Orange}{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab} \end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \large \begin{align*} (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ &=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\\ &=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ (a+b)^3&-3ab(a+b)=a^3+b^3 \end{align*}\]

Terbukti bahwa  \[\large \large \begin{align*}\color{DarkRed}{ a^3+b^3= (a+b)^3-3ab(a+b)}\end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \begin{align*} (a+b+c)^2&=(a+\left (b+c \right )^2\\ &=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\ &=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\\ &=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\ &=a^2+b^2+c^2+2\left (ab+ac+bc \right )\\ (a+b+c)^2&-2\left (ab+ac+bc \right )=a^2+b^2+c^2\\ \end{align*}\]

Terbukti bahwa \[\large \large \begin{align*} \color{DarkGreen} {a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}\end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c)\\ \end{align*}\]

Penyelesaian:

 \[\large \begin{align*} (a+b+c)^3&=(a+(b+c))^3\\ &=a^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+(b+c)^3\\ &=a^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+b^3+3b^2c+3bc^2+c^3\\ &=a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+3bc(b+c)\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a^2+a(b+c)+bc\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a^2+ab+ac+bc\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a(a+b)+c(a+b)\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [(a+b)(a+c)\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)\\ (a+b+c)^3&-3(a+b)(a+c)(b+c)=a^3+b^3+c^3\\ \end{align*}\]

Terbukti bahwa 

\[\large \large \begin{align*} \color{DarkOrange}{ {a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c)}}\\ \end{align*}\]