Soal Latihan Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Download

Persamaan Trigonometri (sin, cos, dan tan)

Download

Sifat Akar-Akar Suku Banyak

Download

Bentuk Umum dan Operasi Aljabar Pada Suku Banyak

Download

Soal Latihan dan Pemantapan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Download

Soal dan Penyelesaian Limit Trigonometri

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Download

Persamaan Lingkaran

Download

Soal Latihan Persamaan Trigonometri

Download

Pembuktian A sin x + B cos x = k cos (x - a)

 Penyelesaian persamaan $A \,sin\, x + B\, cos\, x$

 Persamaan $A\,sin \,x \, +\, B\, cos\,x$ dapat di ubah menjadi  $k cos (x-\alpha )$, sehingga $A \; sin x+ B \; cos x = k \, cos \, (x-\alpha )$

Pembuktian:

\(\begin{array}{rcl}A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \, cos \, (x-\alpha )\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \left (  cos\,x\,cos\alpha+sin\,x\,sin\,\alpha  \right )\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k\left (  cos\,x\,cos\alpha\right )+k \left ( sin\,x\,sin\,\alpha  \right)\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \,cos\,x\,cos\,\alpha+k \,sin\,x\,sin\,\alpha\\\end{array}\)

Dari bentuk kesamaan tersebut maka:

$A\, sin\,x =k \,sin\,x\,sin\,\alpha$ diperoleh $A = k\, sin \,\alpha$ →$A^2 = k^2\, sin^2 \,\alpha$ .............................................. (1)

$B\, cos\,x =k \,cos\,x\,cos\,\alpha$ diperoleh $B = k\, cos \,\alpha$→$B^2 = k^2\, cos^2 \,\alpha$ .............................................. (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2) diperoleh:

\(\begin{array}{rcl}A^2 + B^2 &=& k^2\, sin^2 \,\alpha + k^2 cos^2 \alpha\\A^2 + B^2 &=& k^2\left (sin^2 \,\alpha + cos^2 \alpha  \right )\\A^2 + B^2 &=& k^2\left (1 \right )\\A^2 + B^2 &=& k^2\\\sqrt{A^2 + B^2} &=&k\\\end{array}\)

Dengan membagikan (1) dan (2) diperoleh:

\(\frac{A}{B}=\frac{sin\,\alpha }{cos\, \alpha }=tan\,\alpha \)

Dengan demikian terbukti bahwa:

$A \; sin x+ B \; cos x = k \, cos \, (x-\alpha )$

Soal Latihan Rumus-Rumus Trigonometri

Download

Suku Banyak

Pembahasan soal Latihan Polinomial

Soal 1

Diketahui suku banyak $f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x+p$ jika dibagi oleh $x-1$ memberikan sisa 3. Nilai $p$ adalah ....

Penyelesaian:

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x - 1$ adalah 3, berarti $f(1) = 3$

$\begin{array}{rcl}1^{3}+2.1^{2}-3.1+p & = & 3 \\ 1+2-3+p & = & 3 \\ p & = & 3 \end{array}$

Sehingga nilai p adalah 3

Soal 2: 

Suku banyak $f(x)$  jika dibagi oleh  $x−2$  maka sisanya adalah $3$, sedangkan jika $f(x)$  di bagi oleh  $x+1$ memberikan sisa  $−3$. Sisa pembagian suku banyak  $f(x)$  jika dibagi oleh  $x^2-x-2$  adalah ....

Penyelesaian:
Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x - 2$ adalah $3$, berarti $f(2) = 3$

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x + 1$ adalah $-3$, berarti $f(-1) = -3$ 

      

\[\begin{align*} 2a+b &=3 ................ (1)\\ -a+b&=-3 ............... (2) \end{align*}\]

dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2) maka diperoleh

\[\frac { \!\begin{aligned} 2a+b &=3\\ -a+b&=-3 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 3a&=6 \\ a&=2 \\ b&=-1 \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-2$  adalah $2x-1$

Soal 3: 

Diketahui $f(x)$ adalah suatu polinomial. Jika $f(x-2)$ dan $f(x-1)$ dibagi $x-1$ masing-masing memberikan sisa $1$ dan $3$. Apabila $f(x)$ dibagi $x^2 + x$ memberikan sisa ...

Penyelesaian:

Sisa pembagian $f(x-2)$ oleh $x - 1$ adalah $1$, berarti $f(-1) = 1$

Sisa pembagian $f(x-1)$ oleh $x - 1$ adalah $3$, berarti $f(0) = 3$

\[\begin{align*} f(-1)&=1\rightarrow -a+b&=1\\ f(0)&=3\rightarrow b&=3 \end{align*}\]

Dengan mensubstitusi nilai $b=3$ ke $-a+b=1$ diperoleh $a=2$

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2+x$  adalah $2x+3$

Soal 4: 

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x − 3)$ sisanya $25$, sedangkan jika dibagi dengan $(x + 2)$ sisanya $5$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^2-x-6$ maka sisanya adalah ....

Penyelesaian:

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x - 3$ adalah $25$, berarti $f(3) = 25$

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x + 2$ adalah $5$, berarti $f(-2) = 5$

\[\begin{align*} f(3)&=25\rightarrow 3a+b&=25 .......... (1)\\ f(-2)&=5\rightarrow -2a+b&=5 .......... (2) \end{align*}\]

dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2) maka diperoleh

\[\frac { \!\begin{aligned} 3a+b &=25\\ -2a+b&=5 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 5a&=20 \\ a&=4 \\ b&=13 \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-6$  adalah $4x+13$

Soal 5: 

Bila $x+1$ merupakan salah satu faktor suku banyak $x^3+5x^2-kx+3$, maka nilai $k$ adalah ....

Penyelesaian:

Karena $x+1$ merupakan salah satu faktor suku banyak, akibatnya $f(-1)=0$

Dengan mensubstitusi $x=-1$ ke persamaan suku banyak diperoleh

\[\begin{align*} (-1)^3+5.(-1)^2-k(-1)+3&=0\\ -1+5+k+3&=0 \\ k&=-7 \end{align*}\]

Soal 6:

Yang merupakan akar-akar persamaan suku banyak $f(x)=x^4+3x^3-3x^2-11x-6$ adalah ....

Penyelesaian:

Untuk menentukan akar-akar suku banyak digunakan metode horner sebagai berikut

Sehingga akar-akar suku banyak $f(x)=x^4+3x^3-3x^2-11x-6$ adalah $-3, -1, 2$

Soal 7:

Salah satu faktor suku banyak $f(x)=x^3+px^2+3x-1$ adalah $x-1$, faktor lainnya adalah ....

Penyelesaian:

Karena $x-1$ merupakan salah satu faktor suku banyak, akibatnya $f(1)=0$

Dengan mensubstitusi $x=1$ ke persamaan suku banyak diperoleh

\[\begin{align*} (1)^3+p.(1)^2+3(1)-1&=0\\ 1+p+3-1&=0 \\ p&=-3 \end{align*}\]

Sehingga $f(x)=x^3-3x^2+3x-1$

Untuk memperoleh akar-akar lainnya, digunakan metode horner

Sehingga faktor yang lainnya adalah $x-1$

Soal 8:

Bila sepasang akar persamaan suku banyak $f(x) = x^3-2x^2+6x+k$ berlawanan tanda maka

hasil kali ketiga akar itu adalah ....

Penyelesaian:

Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$

Berdasarkan teorema Vieta

\[\begin{align*}  ax^3+ bx^2 + cx + d = 0\\x_1 + x_2 + x_3= -\frac{b}{a}\\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}\\ x_1x_2x_3 =-\frac{d}{a} \\ \end{align*}\]

Karena sepasang akar berlawanan berarti $x_1$=$-x_2$

\[\large \begin{align*} x^3 -2x^2 + 6x + k &= 0\\ x_1 + x_2 + x_3&= -\frac{(-2)}{1}\\ x_1-x_1 + x_3 &= 2\\ x_3 &=2 \\ \end{align*}\]

Selanjutnya, menentukan nilai $k$ dengan mensubtitusi \(x_3 =2\) ke persamaan suku banyak:

\(\large \begin{align*} 2^3 -2(2)^2 + 6(2) + k &= 0\\ 8-8+12+k&= 0\\ 12+k &=0\\ k&=-12 \\ \end{align*}\)

Hasil kali ketiga akarnya adalah

\[\large \begin{align*} x_1.x_2.x_3 &= -\frac{d}{a}\\ x_1.x_2.x_3 &=-\frac{k}{a}\\ x_1.x_2.x_3 &=-\frac{(-12)}{1}\\ x_1.x_2.x_3 &=12 \end{align*}\]

Soal 9:

Bila sepasang akar persamaan suku banyak $f(x)=x^3+kx^2+7x-3$ berkebalikan maka jumlah ketiga akar itu adalah ....

Penyelesaian:

Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$. Karena sepasang akar Berkebalikan berarti \(x_2=\frac{1}{x_1}\)

Berdasarkan teorema Vieta

\[\large \begin{align*} x^3+kx^2+7x-3&=0\\ x_1 . x_2 . x_3&= 3\\ x_1.\frac{1}{x_1}.x_3&=3 \\ x_3&=3 \end{align*}\]

Selanjutnya, menentukan nilai $k$ dengan mensubtitusi \(x_3 =3\) ke persamaan suku banyak:

\[\large \begin{align*} 3^3 +k(3)^2 + 7(3) -3 &= 0\\ 27+9k+21-3&= 0\\ 9k +45&=0\\9k &=-45\\ k&=-5 \end{align*}\]

Jumlah ketiga akarnya adalah

\[\large \begin{align*} x_1+x_2+x_3 &= -\frac{b}{a}\\ x_1+x_2+x_3 &=-\frac{k}{a}\\ x_1+x_2+x_3 &=-\frac{(-5)}{1}\\ x_1+x_2+x_3 &=5 \end{align*}\]

Soal 10:

Diketahui sepasang akar-akar suku banyak $f(x)=x^3+px^2-x-2$ adalah berlawanan tanda.

Maka ketiga akar-akar suku banyak tersebut adalah ....

Penyelesaian:

Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$. Karena sepasang akar berlawanan tanda berarti \(x_1=-{x_2}\)

Berdasarkan teorema Vieta

\[\large \large \begin{align*} x^3+px^2-x-2&=0\\ x_1 + x_2 + x_3&= -\frac{p}{1}\\ x_1-x_1+x_3&=-p \\ x_3&=-p \end{align*}\]

selanjutnya substitusikan nilai \(x_3=-p\) ke persamaan suku banyak, diperoleh \[\large \large \begin{align*} (-p)^3+p(-p)^2-(-p)-2&=0\\ -p^3+p^3+p-2&=0\\ p-2&=0 \\ p&=2 \end{align*}\]

sehingga persamaan suku banyak tersebut adalah \(x^3+2x^2-x-2\)

akar-akarnya ditentukan menggunakan metode horner

Sehingga akar-akar suku banyak tersebut adalah $-2,-1,1$

Soal 11:

Diketahui suku banyak $f(x)$ bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $-2$, bila dibagi oleh $x + 3$ bersisa $-1$. Sedangkan suku banyak g(x) bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $3$, bila dibagi $x + 3$ bersisa $2$. Bila $h(x) = f(x).g(x)$ maka sisa pembagian $h(x)$ oleh $x^2 + 2x – 3$ adalah ...

Penyelesaian:

$f(x)$ bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $-2$ berarti $f(1)=-2$

$f(x)$ bila dibagi oleh $x +3$ bersisa $-1$ berarti $f(-3)=-1$

$g(x)$ bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $3$ berarti $g(1)=3$

$g(x)$ bila dibagi oleh $x +3$ bersisa $2$ berarti $g(-3)=2$

karena $h(x) = f(x).g(x)$ berarti \[\begin{align*} h(1) = f(1).g(1)&=(-2)(3)\rightarrow h(1)&=-6\\ h(-3) = f(-3).g(-3)&=(-1)(2)\rightarrow h(-3)&=-2 \end{align*}\]

Sisa pembagian suku banyak tersebut adalah $s(x)=ax+b$

\[\begin{align*} x=1\rightarrow a+b&=-6 .......... (1)\\ x=-3\rightarrow -3a+b&=-2 .......... (2) \end{align*}\]

eliminasi persamaan (1) dan (2)

\[\frac { \!\begin{aligned} a+b &=-6\\ -3a+b &=-2 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 4a &= -4 \\ a&=-1\\ b&=-5 \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian sisa pembagian $h(x)$ oleh $x^2 + 2x – 3$ adalah $-x-5$

Soal 12:

Suku banyak $x^3+x^2+4x+4$ dapat difaktorkan menjadi $(x+p)(x^2+qx+r)$. Nilai dari $p+q+r$

adalah ....

Penyelesaian:

\[\begin{align*} x^3+x^2+4x+4&=(x+1)(x^2+4) \\ (x+p)(x^2+qx+r)&=(x+1)(x^2+4) \end{align*}\]

dengan kesamaan suku banyak diperoleh $p=1$, $q=0$ dan $r=4$

sehingga \[\begin{align*} p+q+r&=1+0+4\\ &=5 \end{align*}\]

Soal 13:

Banyaknya akar real dari persamaan polinomial $x^5-x$ adalah ....

Penyelesaian:

\[\begin{align*} x^5-x&=x(x^4-1)\\ &=x(x^2-1)(x^2+1)\\ &=x(x-1)(x+1)(x^2+1) \end{align*}\]

$x^2+1$ tidak memiliki akar real karena diskriminanya < 0, sehingga banyaknya akar real dari persamaan polinomial $x^5-x$ adalah $3$ buah yaitu $-1, 0, 1$

Soal 14:

Suku banyak $f(x)=x^3-3x^2+px+q$ habis dibagi oleh $x^2+1$. Nilai $p+q = ....$

Penyelesaian:

\[\begin{align*} x^3-3x^2+px+q&=(x^2+1)(x+r)\\ x^3-3x^2+px+q&=x^3+rx^2+x+r\\ \end{align*}\]

dengan kesamaan suku banyak diperoleh \[\begin{align*} r&=-3\\ p&=1\\ q&=r=-3 \end{align*}\]

sehingga  \[\begin{align*} p+q&=1-3\\ &=-2\\ \end{align*}\]

Soal 15:

Bila $p, q, r$ merupakan akar-akar suku banyak $f(x)=x^3+2x^2+6x-12$ maka hasil dari \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=....\)

Penyelesaian:

\[\begin{align*} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}&=\frac{qr+pr+pq}{pqr} \\ &=\frac{\frac{c}{a}}{-\frac{d}{a}}\\ &= \frac{6}{12}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}\]

Soal 16:

Akar-akar suku banyak $f(x)=x^3-2x+1$ adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$. Nilai dari \(x_1^{3}+x_2^{3}+x_3^{3}=....\)

Penyelesaian:

\[\begin{align*} f(x)=x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1) \end{align*}\]

Sehingga $x_1=1$ sementara dari $x^2+x-1$ diperoleh $x_2+x_3=-1$ dan $x_2.x_3=-1$, dengan demikian:

\[\begin{align*} x_1^{3}+x_2^{3}+x_3^{3}&=(x_1+x_2+x_3)^{3}-3(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3) \\ &=(0)^3-3(1+x_2)(1+x_3)(x_2+x_3)\\ &=0-3(1+x_2+x_3+x_2x_3)(-1) \\ &=-3(1-1-1)(-1)\\ &=-3(-1)(-1)\\ &=-3 \end{align*}\]

Soal 17:

Nilai p yang memenuhi suku banyak \(\begin{align*} f(x)=\frac{x^3+3x^2-px-3}{x^2-1} \end{align*}\) dapat disederhanakan adalah ....

Penyelesaian:

Supaya suku banyak tersebut dapat disederhanakan berarti \[\begin{align*} x^3+3x^2-px-3&=(x^2-1)(x+a)\\ x^3+3x^2-px-3&=x^3+ax^2-x-a \end{align*}\]

dengan kesamaan suku banyak diperoleh $p=1$

Suku Banyak : Teorema Faktor

Download

Suku Banyak - Teorema Sisa

Download

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Download

Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Download

Persamaan Lingkaran dengan pusat (a, b)

Download

Persamaan Lingkaran pusat (0, 0)

Download

Soal dan Penyelesaian Rumus-rumus Trigonometri

 

Download

Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri

 

Download