Pembuktian A sin x + B cos x = k cos (x - a)

 Penyelesaian persamaan $A \,sin\, x + B\, cos\, x$

 Persamaan $A\,sin \,x \, +\, B\, cos\,x$ dapat di ubah menjadi  $k cos (x-\alpha )$, sehingga $A \; sin x+ B \; cos x = k \, cos \, (x-\alpha )$

Pembuktian:

\(\begin{array}{rcl}A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \, cos \, (x-\alpha )\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \left (  cos\,x\,cos\alpha+sin\,x\,sin\,\alpha  \right )\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k\left (  cos\,x\,cos\alpha\right )+k \left ( sin\,x\,sin\,\alpha  \right)\\A\, sin\,x +\,B\,cos \,x&=&k \,cos\,x\,cos\,\alpha+k \,sin\,x\,sin\,\alpha\\\end{array}\)

Dari bentuk kesamaan tersebut maka:

$A\, sin\,x =k \,sin\,x\,sin\,\alpha$ diperoleh $A = k\, sin \,\alpha$ →$A^2 = k^2\, sin^2 \,\alpha$ .............................................. (1)

$B\, cos\,x =k \,cos\,x\,cos\,\alpha$ diperoleh $B = k\, cos \,\alpha$→$B^2 = k^2\, cos^2 \,\alpha$ .............................................. (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2) diperoleh:

\(\begin{array}{rcl}A^2 + B^2 &=& k^2\, sin^2 \,\alpha + k^2 cos^2 \alpha\\A^2 + B^2 &=& k^2\left (sin^2 \,\alpha + cos^2 \alpha  \right )\\A^2 + B^2 &=& k^2\left (1 \right )\\A^2 + B^2 &=& k^2\\\sqrt{A^2 + B^2} &=&k\\\end{array}\)

Dengan membagikan (1) dan (2) diperoleh:

\(\frac{A}{B}=\frac{sin\,\alpha }{cos\, \alpha }=tan\,\alpha \)

Dengan demikian terbukti bahwa:

$A \; sin x+ B \; cos x = k \, cos \, (x-\alpha )$