Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Trigonometri

Berikut ini merupakan cara mengkonversi rumus jumlah dan selisih sudut menjadi rumus jumlah dan selisih Trigonometri.

Rumus Jumlah Sinus

Sebelumnya ingat kembali rumus Jumlah dan selisih sudut untuk sinus.

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta\\ sin\left ( \alpha -\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di jumlahkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta+sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta\\ sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=sin\alpha cos\beta +sin\alpha cos\beta\\ sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=2sin\alpha cos\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )+sin\left ( \alpha -\beta \right )&=2sin\alpha cos\beta\\ sinA+sinB&=2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus jumlah fungsi sinus, yaitu:

\[sinA+sinB=2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]

Rumus Selisih Sinus

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta\\ sin\left ( \alpha -\beta \right ) &= sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di kurangkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )-sin\left ( \alpha -\beta \right )&=sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta-(sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta)\\ &=cos\alpha sin\beta +cos\alpha sin\beta\\ &=2cos\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} sin\left ( \alpha +\beta \right )-sin\left ( \alpha -\beta \right )&=2cos\alpha sin\beta\\ sinA-sinB&=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus selisih fungsi sinus, yaitu:

\[sinA-sinB=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]

Rumus Jumlah Kosinus

Sebelumnya ingat kembali rumus jumlah dan selisih sudut untuk kosinus.

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta\\ cos\left ( \alpha -\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di jumlahkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )+cos\left ( \alpha -\beta \right )&=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta\\ &=cos\alpha cos\beta +cos\alpha cos\beta\\ &=2cos\alpha cos\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )+cos\left ( \alpha -\beta \right )&=2cos\alpha cos\beta\\ cosA+cosB&=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus jumlah fungsi kosinus, yaitu:

\[cosA+cosB=2cos\left ( \frac{A+B}{2} \right )cos\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]

Rumus Selisih Kosinus

Sebelumnya ingat kembali rumus Jumlah dan selisih sudut untuk kosinus.

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta\\ cos\left ( \alpha -\beta \right ) &= cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Bila kedua persamaan ini di kurangkan, maka akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )-cos\left ( \alpha -\beta \right )&=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta-(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta)\\ &=-sin\alpha sin\beta -sin\alpha sin\beta\\ &=-2sin\alpha sin\beta \end{align*}$ 

Dengan memisalkan:

\(A=\alpha +\beta \) dan \(B=\alpha -\beta\)

Sehingga, 

$\begin{align*} A+B&=\alpha +\beta\ +\alpha -\beta \\ A+B&=\alpha+\alpha \\ A+B&= 2\alpha \\ \frac{A+B}{2}&=\alpha \end{align*}$ 

Dengan mensubstitusi nilai A dan B akan diperoleh:

$\begin{align*} cos\left ( \alpha +\beta \right )-cos\left ( \alpha -\beta \right )&=-2sin\alpha sin\beta\\ cosA-cosB&=-2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right ) \end{align*}$ 

Dengan demikian diperoleh rumus selisih fungsi kosinus, yaitu:

\[cosA-cosB=-2sin\left ( \frac{A+B}{2} \right )sin\left ( \frac{A-B}{2} \right )\]