Bentuk $(a+b)^n$

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^2+b^2=(a+b)^2-2ab \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \large \begin{align*} (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\ &=a^2+b^2+2ab\\ (a+b)^2&-2ab=a^2+b^2 \end{align*}\]

Terbukti bahwa  \[\large \large \begin{align*}\color{Orange}{ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab} \end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b) \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \large \begin{align*} (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ &=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2\\ &=a^3+b^3+3ab(a+b)\\ (a+b)^3&-3ab(a+b)=a^3+b^3 \end{align*}\]

Terbukti bahwa  \[\large \large \begin{align*}\color{DarkRed}{ a^3+b^3= (a+b)^3-3ab(a+b)}\end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) \end{align*}\]

Penyelesaian:

\[\large \begin{align*} (a+b+c)^2&=(a+\left (b+c \right )^2\\ &=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2\\ &=a^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\\ &=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\ &=a^2+b^2+c^2+2\left (ab+ac+bc \right )\\ (a+b+c)^2&-2\left (ab+ac+bc \right )=a^2+b^2+c^2\\ \end{align*}\]

Terbukti bahwa \[\large \large \begin{align*} \color{DarkGreen} {a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+ac+bc)}\end{align*}\]

Buktikan bahwa \[\large \begin{align*} a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c)\\ \end{align*}\]

Penyelesaian:

 \[\large \begin{align*} (a+b+c)^3&=(a+(b+c))^3\\ &=a^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+(b+c)^3\\ &=a^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+b^3+3b^2c+3bc^2+c^3\\ &=a^3+b^3+c^3+3a^2(b+c)+3a(b+c)^2+3bc(b+c)\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a^2+a(b+c)+bc\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a^2+ab+ac+bc\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [a(a+b)+c(a+b)\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(b+c)\left [(a+b)(a+c)\right ]\\ &=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)\\ (a+b+c)^3&-3(a+b)(a+c)(b+c)=a^3+b^3+c^3\\ \end{align*}\]

Terbukti bahwa 

\[\large \large \begin{align*} \color{DarkOrange}{ {a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(a+c)(b+c)}}\\ \end{align*}\]

Suku Banyak

Pembahasan soal Latihan Polinomial

Soal 1

Diketahui suku banyak $f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x+p$ jika dibagi oleh $x-1$ memberikan sisa 3. Nilai $p$ adalah ....

Penyelesaian:

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x - 1$ adalah 3, berarti $f(1) = 3$

$\begin{array}{rcl}1^{3}+2.1^{2}-3.1+p & = & 3 \\ 1+2-3+p & = & 3 \\ p & = & 3 \end{array}$

Sehingga nilai p adalah 3

Soal 2: 

Suku banyak $f(x)$  jika dibagi oleh  $x−2$  maka sisanya adalah $3$, sedangkan jika $f(x)$  di bagi oleh  $x+1$ memberikan sisa  $−3$. Sisa pembagian suku banyak  $f(x)$  jika dibagi oleh  $x^2-x-2$  adalah ....

Penyelesaian:
Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x - 2$ adalah $3$, berarti $f(2) = 3$

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x + 1$ adalah $-3$, berarti $f(-1) = -3$ 

      

\[\begin{align*} 2a+b &=3 ................ (1)\\ -a+b&=-3 ............... (2) \end{align*}\]

dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2) maka diperoleh

\[\frac { \!\begin{aligned} 2a+b &=3\\ -a+b&=-3 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 3a&=6 \\ a&=2 \\ b&=-1 \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-2$  adalah $2x-1$

Soal 3: 

Diketahui $f(x)$ adalah suatu polinomial. Jika $f(x-2)$ dan $f(x-1)$ dibagi $x-1$ masing-masing memberikan sisa $1$ dan $3$. Apabila $f(x)$ dibagi $x^2 + x$ memberikan sisa ...

Penyelesaian:

Sisa pembagian $f(x-2)$ oleh $x - 1$ adalah $1$, berarti $f(-1) = 1$

Sisa pembagian $f(x-1)$ oleh $x - 1$ adalah $3$, berarti $f(0) = 3$

\[\begin{align*} f(-1)&=1\rightarrow -a+b&=1\\ f(0)&=3\rightarrow b&=3 \end{align*}\]

Dengan mensubstitusi nilai $b=3$ ke $-a+b=1$ diperoleh $a=2$

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2+x$  adalah $2x+3$

Soal 4: 

Jika $f(x)$ dibagi dengan $(x − 3)$ sisanya $25$, sedangkan jika dibagi dengan $(x + 2)$ sisanya $5$. Jika $f(x)$ dibagi dengan $x^2-x-6$ maka sisanya adalah ....

Penyelesaian:

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x - 3$ adalah $25$, berarti $f(3) = 25$

Sisa pembagian $f(x)$ oleh $x + 2$ adalah $5$, berarti $f(-2) = 5$

\[\begin{align*} f(3)&=25\rightarrow 3a+b&=25 .......... (1)\\ f(-2)&=5\rightarrow -2a+b&=5 .......... (2) \end{align*}\]

dengan mengeliminasi persamaan (1) dan (2) maka diperoleh

\[\frac { \!\begin{aligned} 3a+b &=25\\ -2a+b&=5 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 5a&=20 \\ a&=4 \\ b&=13 \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian, sisa pembagian $f(x)$ oleh $x^2-x-6$  adalah $4x+13$

Soal 5: 

Bila $x+1$ merupakan salah satu faktor suku banyak $x^3+5x^2-kx+3$, maka nilai $k$ adalah ....

Penyelesaian:

Karena $x+1$ merupakan salah satu faktor suku banyak, akibatnya $f(-1)=0$

Dengan mensubstitusi $x=-1$ ke persamaan suku banyak diperoleh

\[\begin{align*} (-1)^3+5.(-1)^2-k(-1)+3&=0\\ -1+5+k+3&=0 \\ k&=-7 \end{align*}\]

Soal 6:

Yang merupakan akar-akar persamaan suku banyak $f(x)=x^4+3x^3-3x^2-11x-6$ adalah ....

Penyelesaian:

Untuk menentukan akar-akar suku banyak digunakan metode horner sebagai berikut

Sehingga akar-akar suku banyak $f(x)=x^4+3x^3-3x^2-11x-6$ adalah $-3, -1, 2$

Soal 7:

Salah satu faktor suku banyak $f(x)=x^3+px^2+3x-1$ adalah $x-1$, faktor lainnya adalah ....

Penyelesaian:

Karena $x-1$ merupakan salah satu faktor suku banyak, akibatnya $f(1)=0$

Dengan mensubstitusi $x=1$ ke persamaan suku banyak diperoleh

\[\begin{align*} (1)^3+p.(1)^2+3(1)-1&=0\\ 1+p+3-1&=0 \\ p&=-3 \end{align*}\]

Sehingga $f(x)=x^3-3x^2+3x-1$

Untuk memperoleh akar-akar lainnya, digunakan metode horner

Sehingga faktor yang lainnya adalah $x-1$

Soal 8:

Bila sepasang akar persamaan suku banyak $f(x) = x^3-2x^2+6x+k$ berlawanan tanda maka

hasil kali ketiga akar itu adalah ....

Penyelesaian:

Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$

Berdasarkan teorema Vieta

\[\begin{align*}  ax^3+ bx^2 + cx + d = 0\\x_1 + x_2 + x_3= -\frac{b}{a}\\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}\\ x_1x_2x_3 =-\frac{d}{a} \\ \end{align*}\]

Karena sepasang akar berlawanan berarti $x_1$=$-x_2$

\[\large \begin{align*} x^3 -2x^2 + 6x + k &= 0\\ x_1 + x_2 + x_3&= -\frac{(-2)}{1}\\ x_1-x_1 + x_3 &= 2\\ x_3 &=2 \\ \end{align*}\]

Selanjutnya, menentukan nilai $k$ dengan mensubtitusi \(x_3 =2\) ke persamaan suku banyak:

\(\large \begin{align*} 2^3 -2(2)^2 + 6(2) + k &= 0\\ 8-8+12+k&= 0\\ 12+k &=0\\ k&=-12 \\ \end{align*}\)

Hasil kali ketiga akarnya adalah

\[\large \begin{align*} x_1.x_2.x_3 &= -\frac{d}{a}\\ x_1.x_2.x_3 &=-\frac{k}{a}\\ x_1.x_2.x_3 &=-\frac{(-12)}{1}\\ x_1.x_2.x_3 &=12 \end{align*}\]

Soal 9:

Bila sepasang akar persamaan suku banyak $f(x)=x^3+kx^2+7x-3$ berkebalikan maka jumlah ketiga akar itu adalah ....

Penyelesaian:

Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$. Karena sepasang akar Berkebalikan berarti \(x_2=\frac{1}{x_1}\)

Berdasarkan teorema Vieta

\[\large \begin{align*} x^3+kx^2+7x-3&=0\\ x_1 . x_2 . x_3&= 3\\ x_1.\frac{1}{x_1}.x_3&=3 \\ x_3&=3 \end{align*}\]

Selanjutnya, menentukan nilai $k$ dengan mensubtitusi \(x_3 =3\) ke persamaan suku banyak:

\[\large \begin{align*} 3^3 +k(3)^2 + 7(3) -3 &= 0\\ 27+9k+21-3&= 0\\ 9k +45&=0\\9k &=-45\\ k&=-5 \end{align*}\]

Jumlah ketiga akarnya adalah

\[\large \begin{align*} x_1+x_2+x_3 &= -\frac{b}{a}\\ x_1+x_2+x_3 &=-\frac{k}{a}\\ x_1+x_2+x_3 &=-\frac{(-5)}{1}\\ x_1+x_2+x_3 &=5 \end{align*}\]

Soal 10:

Diketahui sepasang akar-akar suku banyak $f(x)=x^3+px^2-x-2$ adalah berlawanan tanda.

Maka ketiga akar-akar suku banyak tersebut adalah ....

Penyelesaian:

Misalkan akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$. Karena sepasang akar berlawanan tanda berarti \(x_1=-{x_2}\)

Berdasarkan teorema Vieta

\[\large \large \begin{align*} x^3+px^2-x-2&=0\\ x_1 + x_2 + x_3&= -\frac{p}{1}\\ x_1-x_1+x_3&=-p \\ x_3&=-p \end{align*}\]

selanjutnya substitusikan nilai \(x_3=-p\) ke persamaan suku banyak, diperoleh \[\large \large \begin{align*} (-p)^3+p(-p)^2-(-p)-2&=0\\ -p^3+p^3+p-2&=0\\ p-2&=0 \\ p&=2 \end{align*}\]

sehingga persamaan suku banyak tersebut adalah \(x^3+2x^2-x-2\)

akar-akarnya ditentukan menggunakan metode horner

Sehingga akar-akar suku banyak tersebut adalah $-2,-1,1$

Soal 11:

Diketahui suku banyak $f(x)$ bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $-2$, bila dibagi oleh $x + 3$ bersisa $-1$. Sedangkan suku banyak g(x) bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $3$, bila dibagi $x + 3$ bersisa $2$. Bila $h(x) = f(x).g(x)$ maka sisa pembagian $h(x)$ oleh $x^2 + 2x – 3$ adalah ...

Penyelesaian:

$f(x)$ bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $-2$ berarti $f(1)=-2$

$f(x)$ bila dibagi oleh $x +3$ bersisa $-1$ berarti $f(-3)=-1$

$g(x)$ bila dibagi oleh $x – 1$ bersisa $3$ berarti $g(1)=3$

$g(x)$ bila dibagi oleh $x +3$ bersisa $2$ berarti $g(-3)=2$

karena $h(x) = f(x).g(x)$ berarti \[\begin{align*} h(1) = f(1).g(1)&=(-2)(3)\rightarrow h(1)&=-6\\ h(-3) = f(-3).g(-3)&=(-1)(2)\rightarrow h(-3)&=-2 \end{align*}\]

Sisa pembagian suku banyak tersebut adalah $s(x)=ax+b$

\[\begin{align*} x=1\rightarrow a+b&=-6 .......... (1)\\ x=-3\rightarrow -3a+b&=-2 .......... (2) \end{align*}\]

eliminasi persamaan (1) dan (2)

\[\frac { \!\begin{aligned} a+b &=-6\\ -3a+b &=-2 \end{aligned} } { \!\begin{aligned} 4a &= -4 \\ a&=-1\\ b&=-5 \end{aligned} } \ -\]

Dengan demikian sisa pembagian $h(x)$ oleh $x^2 + 2x – 3$ adalah $-x-5$

Soal 12:

Suku banyak $x^3+x^2+4x+4$ dapat difaktorkan menjadi $(x+p)(x^2+qx+r)$. Nilai dari $p+q+r$

adalah ....

Penyelesaian:

\[\begin{align*} x^3+x^2+4x+4&=(x+1)(x^2+4) \\ (x+p)(x^2+qx+r)&=(x+1)(x^2+4) \end{align*}\]

dengan kesamaan suku banyak diperoleh $p=1$, $q=0$ dan $r=4$

sehingga \[\begin{align*} p+q+r&=1+0+4\\ &=5 \end{align*}\]

Soal 13:

Banyaknya akar real dari persamaan polinomial $x^5-x$ adalah ....

Penyelesaian:

\[\begin{align*} x^5-x&=x(x^4-1)\\ &=x(x^2-1)(x^2+1)\\ &=x(x-1)(x+1)(x^2+1) \end{align*}\]

$x^2+1$ tidak memiliki akar real karena diskriminanya < 0, sehingga banyaknya akar real dari persamaan polinomial $x^5-x$ adalah $3$ buah yaitu $-1, 0, 1$

Soal 14:

Suku banyak $f(x)=x^3-3x^2+px+q$ habis dibagi oleh $x^2+1$. Nilai $p+q = ....$

Penyelesaian:

\[\begin{align*} x^3-3x^2+px+q&=(x^2+1)(x+r)\\ x^3-3x^2+px+q&=x^3+rx^2+x+r\\ \end{align*}\]

dengan kesamaan suku banyak diperoleh \[\begin{align*} r&=-3\\ p&=1\\ q&=r=-3 \end{align*}\]

sehingga  \[\begin{align*} p+q&=1-3\\ &=-2\\ \end{align*}\]

Soal 15:

Bila $p, q, r$ merupakan akar-akar suku banyak $f(x)=x^3+2x^2+6x-12$ maka hasil dari \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=....\)

Penyelesaian:

\[\begin{align*} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}&=\frac{qr+pr+pq}{pqr} \\ &=\frac{\frac{c}{a}}{-\frac{d}{a}}\\ &= \frac{6}{12}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*}\]

Soal 16:

Akar-akar suku banyak $f(x)=x^3-2x+1$ adalah $x_1,x_2$ dan $x_3$. Nilai dari \(x_1^{3}+x_2^{3}+x_3^{3}=....\)

Penyelesaian:

\[\begin{align*} f(x)=x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1) \end{align*}\]

Sehingga $x_1=1$ sementara dari $x^2+x-1$ diperoleh $x_2+x_3=-1$ dan $x_2.x_3=-1$, dengan demikian:

\[\begin{align*} x_1^{3}+x_2^{3}+x_3^{3}&=(x_1+x_2+x_3)^{3}-3(x_1+x_2)(x_1+x_3)(x_2+x_3) \\ &=(0)^3-3(1+x_2)(1+x_3)(x_2+x_3)\\ &=0-3(1+x_2+x_3+x_2x_3)(-1) \\ &=-3(1-1-1)(-1)\\ &=-3(-1)(-1)\\ &=-3 \end{align*}\]

Soal 17:

Nilai p yang memenuhi suku banyak \(\begin{align*} f(x)=\frac{x^3+3x^2-px-3}{x^2-1} \end{align*}\) dapat disederhanakan adalah ....

Penyelesaian:

Supaya suku banyak tersebut dapat disederhanakan berarti \[\begin{align*} x^3+3x^2-px-3&=(x^2-1)(x+a)\\ x^3+3x^2-px-3&=x^3+ax^2-x-a \end{align*}\]

dengan kesamaan suku banyak diperoleh $p=1$